حل {l}{-3x+10y=1}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 10 y = 1 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-3x+10y=1$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$-3x=-10y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-10y+1\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في -10y+1.

$$x=\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{10y-1}{3} في المعادلة الأخرى، 2x-y=5.

$$2\left(\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=5$$

اضرب 2 في \frac{10y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}-y=5$$

اجمع \frac{20y}{3} مع -y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{2}{3}=5$$

أضف \frac{2}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{3}y=\frac{17}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

اجمع -\frac{1}{3} مع \frac{10}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-10\times 2}&-\frac{10}{-3\left(-1\right)-10\times 2}\\-\frac{2}{-3\left(-1\right)-10\times 2}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-10\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{10}{17}\\\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{10}{17}\times 5\\\frac{2}{17}+\frac{3}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

لجعل -3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -3.

$$2\left(-3\right)x+2\times 10y=2,-3\times 2x-3\left(-1\right)y=-3\times 5$$

تبسيط.

$$-6x+20y=2,-6x+3y=-15$$

اطرح -6x+3y=-15 من -6x+20y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6x+6x+20y-3y=2+15$$

اجمع -6x مع 6x. حذف الحدين -6x و6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-3y=2+15$$

اجمع 20y مع -3y.

$$17y=2+15$$

اجمع 2 مع 15.

$$17y=17$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 2x-y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-1=5$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$