حل {l}{-2x+3y=-10}{-3x+3y=-3}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = - 10 } \\ { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ \hline \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=-8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+3y=-10$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-3y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+5 في المعادلة الأخرى، -3x+3y=-3.

$$-3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+3y=-3$$

اضرب -3 في \frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y-15+3y=-3$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 3y.

$$-\frac{3}{2}y-15=-3$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}y=12$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في x=\frac{3}{2}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-8\right)+5$$

اضرب \frac{3}{2} في -8.

$$x=-12+5$$

اجمع 5 مع -12.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10-\left(-3\right)\\-10-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=-8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

اطرح -3x+3y=-3 من -2x+3y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+3x+3y-3y=-10+3$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2x+3x=-10+3$$

اجمع -2x مع 3x.

$$x=-10+3$$

اجمع -10 مع 3.

$$x=-7$$

عوّض عن x بالقيمة -7 في -3x+3y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-3\left(-7\right)+3y=-3$$

اضرب -3 في -7.

$$21+3y=-3$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$3y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-8$$