حل {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x-2 في y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x-1 في y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

اطرح xy من الطرفين.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

اجمع 5x مع -2x لتحصل على 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

إضافة y لكلا الجانبين.

$$3x-2y-10+y=-2$$

اجمع -2y مع y لتحصل على -y.

$$3x-y-10=-2$$

إضافة 10 لكلا الجانبين.

$$3x-y=-2+10$$

اجمع -2 مع 10 لتحصل على 8.

$$3x-y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب y-3 في x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+7 في y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

اطرح xy من الطرفين.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

اجمع yx مع -xy لتحصل على 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

اجمع -3x مع 4x لتحصل على x.

$$4y+x-12=7y-28$$

اطرح 7y من الطرفين.

$$4y+x-12-7y=-28$$

اجمع 4y مع -7y لتحصل على -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

إضافة 12 لكلا الجانبين.

$$-3y+x=-28+12$$

اجمع -28 مع 12 لتحصل على -16.

$$-3y+x=-16$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=8$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8+y}{3} في المعادلة الأخرى، x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

اجمع \frac{y}{3} مع -3y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

اطرح \frac{8}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

اجمع \frac{8}{3} مع \frac{7}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x-2 في y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x-1 في y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

اطرح xy من الطرفين.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

اجمع 5x مع -2x لتحصل على 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

إضافة y لكلا الجانبين.

$$3x-2y-10+y=-2$$

اجمع -2y مع y لتحصل على -y.

$$3x-y-10=-2$$

إضافة 10 لكلا الجانبين.

$$3x-y=-2+10$$

اجمع -2 مع 10 لتحصل على 8.

$$3x-y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب y-3 في x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+7 في y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

اطرح xy من الطرفين.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

اجمع yx مع -xy لتحصل على 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

اجمع -3x مع 4x لتحصل على x.

$$4y+x-12=7y-28$$

اطرح 7y من الطرفين.

$$4y+x-12-7y=-28$$

اجمع 4y مع -7y لتحصل على -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

إضافة 12 لكلا الجانبين.

$$-3y+x=-28+12$$

اجمع -28 مع 12 لتحصل على -16.

$$-3y+x=-16$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x-2 في y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x-1 في y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

اطرح xy من الطرفين.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

اجمع 5x مع -2x لتحصل على 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

إضافة y لكلا الجانبين.

$$3x-2y-10+y=-2$$

اجمع -2y مع y لتحصل على -y.

$$3x-y-10=-2$$

إضافة 10 لكلا الجانبين.

$$3x-y=-2+10$$

اجمع -2 مع 10 لتحصل على 8.

$$3x-y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب y-3 في x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+7 في y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

اطرح xy من الطرفين.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

اجمع yx مع -xy لتحصل على 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

اجمع -3x مع 4x لتحصل على x.

$$4y+x-12=7y-28$$

اطرح 7y من الطرفين.

$$4y+x-12-7y=-28$$

اجمع 4y مع -7y لتحصل على -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

إضافة 12 لكلا الجانبين.

$$-3y+x=-28+12$$

اجمع -28 مع 12 لتحصل على -16.

$$-3y+x=-16$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

تبسيط.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

اطرح 3x-9y=-48 من 3x-y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y+9y=8+48$$

اجمع -y مع 9y.

$$8y=8+48$$

اجمع 8 مع 48.

$$8y=56$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x-3y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\times 7=-16$$

اضرب -3 في 7.

$$x-21=-16$$

أضف 21 إلى طرفي المعادلة.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=7$$