حل {l}{(x+5)(y-5)-(x+2)(y-3)=0}{(x-2)(y+4)=xy-10}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x + 5 ) ( y - 5 ) - ( x + 2 ) ( y - 3 ) = 0 } \\ { ( x - 2 ) ( y + 4 ) = x y - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x+5 في y-5.

$$xy-5x+5y-25-\left(x+2\right)\left(y-3\right)=0$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+2 في y-3.

$$xy-5x+5y-25-\left(xy-3x+2y-6\right)=0$$

لمعرفة مقابل xy-3x+2y-6، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$xy-5x+5y-25-xy+3x-2y+6=0$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$-5x+5y-25+3x-2y+6=0$$

اجمع -5x مع 3x لتحصل على -2x.

$$-2x+5y-25-2y+6=0$$

اجمع 5y مع -2y لتحصل على 3y.

$$-2x+3y-25+6=0$$

اجمع -25 مع 6 لتحصل على -19.

$$-2x+3y-19=0$$

إضافة 19 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-2x+3y=19$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب x-2 في y+4.

$$xy+4x-2y-8=xy-10$$

اطرح xy من الطرفين.

$$xy+4x-2y-8-xy=-10$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$4x-2y-8=-10$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$4x-2y=-10+8$$

اجمع -10 مع 8 لتحصل على -2.

$$4x-2y=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+3y=19,4x-2y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+3y=19$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-3y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -3y+19.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{19}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y-19}{2} في المعادلة الأخرى، 4x-2y=-2.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{19}{2}\right)-2y=-2$$

اضرب 4 في \frac{3y-19}{2}.

$$6y-38-2y=-2$$

اجمع 6y مع -2y.

$$4y-38=-2$$

أضف 38 إلى طرفي المعادلة.

$$4y=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=\frac{3}{2}y-\frac{19}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{19}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في 9.

$$x=\frac{27-19}{2}$$

اجمع -\frac{19}{2} مع \frac{27}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x+5 في y-5.

$$xy-5x+5y-25-\left(x+2\right)\left(y-3\right)=0$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+2 في y-3.

$$xy-5x+5y-25-\left(xy-3x+2y-6\right)=0$$

لمعرفة مقابل xy-3x+2y-6، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$xy-5x+5y-25-xy+3x-2y+6=0$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$-5x+5y-25+3x-2y+6=0$$

اجمع -5x مع 3x لتحصل على -2x.

$$-2x+5y-25-2y+6=0$$

اجمع 5y مع -2y لتحصل على 3y.

$$-2x+3y-25+6=0$$

اجمع -25 مع 6 لتحصل على -19.

$$-2x+3y-19=0$$

إضافة 19 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-2x+3y=19$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب x-2 في y+4.

$$xy+4x-2y-8=xy-10$$

اطرح xy من الطرفين.

$$xy+4x-2y-8-xy=-10$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$4x-2y-8=-10$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$4x-2y=-10+8$$

اجمع -10 مع 8 لتحصل على -2.

$$4x-2y=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+3y=19,4x-2y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-2\left(-2\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-2\left(-2\right)-3\times 4}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19+\frac{3}{8}\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\times 19+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x+5 في y-5.

$$xy-5x+5y-25-\left(x+2\right)\left(y-3\right)=0$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+2 في y-3.

$$xy-5x+5y-25-\left(xy-3x+2y-6\right)=0$$

لمعرفة مقابل xy-3x+2y-6، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$xy-5x+5y-25-xy+3x-2y+6=0$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$-5x+5y-25+3x-2y+6=0$$

اجمع -5x مع 3x لتحصل على -2x.

$$-2x+5y-25-2y+6=0$$

اجمع 5y مع -2y لتحصل على 3y.

$$-2x+3y-25+6=0$$

اجمع -25 مع 6 لتحصل على -19.

$$-2x+3y-19=0$$

إضافة 19 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-2x+3y=19$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب x-2 في y+4.

$$xy+4x-2y-8=xy-10$$

اطرح xy من الطرفين.

$$xy+4x-2y-8-xy=-10$$

اجمع xy مع -xy لتحصل على 0.

$$4x-2y-8=-10$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$4x-2y=-10+8$$

اجمع -10 مع 8 لتحصل على -2.

$$4x-2y=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+3y=19,4x-2y=-2$$

لجعل -2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$4\left(-2\right)x+4\times 3y=4\times 19,-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$-8x+12y=76,-8x+4y=4$$

اطرح -8x+4y=4 من -8x+12y=76 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x+12y-4y=76-4$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-4y=76-4$$

اجمع 12y مع -4y.

$$8y=76-4$$

اجمع 76 مع -4.

$$8y=72$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في 4x-2y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-2\times 9=-2$$

اضرب -2 في 9.

$$4x-18=-2$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=9$$