حل {l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 8.

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

اضرب 8 في y-\frac{5}{2}.

$$x=8y-20$$

عوّض عن x بالقيمة 8y-20 في المعادلة الأخرى، 3x+\frac{1}{3}y=13.

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

اضرب 3 في 8y-20.

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

اجمع 24y مع \frac{y}{3}.

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{73}{3}y=73$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{73}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=8y-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=8\times 3-20$$

اضرب 8 في 3.

$$x=24-20$$

اجمع -20 مع 24.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

لجعل \frac{x}{8} و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{8}.

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

تبسيط.

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

اطرح \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8} من \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

اجمع \frac{3x}{8} مع -\frac{3x}{8}. حذف الحدين \frac{3x}{8} و-\frac{3x}{8}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

اجمع -3y مع -\frac{y}{24}.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

اجمع -\frac{15}{2} مع -\frac{13}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{73}{24}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 3x+\frac{1}{3}y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

اضرب \frac{1}{3} في 3.

$$3x+1=13$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$3x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=3$$