حل {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-10$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,10.

$$2x-20=y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x-20-y=0$$

إضافة 20 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-y=20$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 7y لكلا الجانبين.

$$5x+45+7y=0$$

اطرح 45 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$5x+7y=-45$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=20$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+20$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+10 في المعادلة الأخرى، 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

اضرب 5 في \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

اجمع \frac{5y}{2} مع 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

اطرح 50 من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-10$$

عوّض عن y بالقيمة -10 في x=\frac{1}{2}y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

اضرب \frac{1}{2} في -10.

$$x=-5+10$$

اجمع 10 مع -5.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-10$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,10.

$$2x-20=y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x-20-y=0$$

إضافة 20 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-y=20$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 7y لكلا الجانبين.

$$5x+45+7y=0$$

اطرح 45 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$5x+7y=-45$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-10$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 5,10.

$$2x-20=y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x-20-y=0$$

إضافة 20 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-y=20$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 7y لكلا الجانبين.

$$5x+45+7y=0$$

اطرح 45 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$5x+7y=-45$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

تبسيط.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

اطرح 10x+14y=-90 من 10x-5y=100 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y-14y=100+90$$

اجمع -5y مع -14y.

$$-19y=100+90$$

اجمع 100 مع 90.

$$-19y=190$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=-10$$

عوّض عن y بالقيمة -10 في 5x+7y=-45. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

اضرب 7 في -10.

$$5x-70=-45$$

أضف 70 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=25$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-10$$