حل {l}{3/4x+1/4y=13/2}{x-3/4y=frac{13}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \\ { x - \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2}$$

اطرح \frac{y}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{4}x=-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}\right)$$

اضرب \frac{4}{3} في -\frac{y}{4}+\frac{13}{2}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+26}{3} في المعادلة الأخرى، x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

اجمع -\frac{y}{3} مع -\frac{3y}{4}.

$$-\frac{13}{12}y+\frac{26}{3}=\frac{13}{2}$$

اطرح \frac{26}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{13}{12}y=-\frac{13}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{13}{12}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{26}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في 2.

$$x=\frac{-2+26}{3}$$

اجمع \frac{26}{3} مع -\frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\\-\frac{1}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{16}{13}&-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}+\frac{4}{13}\times \frac{13}{2}\\\frac{16}{13}\times \frac{13}{2}-\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

لجعل \frac{3x}{4} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{3}{4}.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)y=\frac{3}{4}\times \frac{13}{2}$$

تبسيط.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8}$$

اطرح \frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8} من \frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

اجمع \frac{3x}{4} مع -\frac{3x}{4}. حذف الحدين \frac{3x}{4} و-\frac{3x}{4}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

اجمع \frac{y}{4} مع \frac{9y}{16}.

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

اجمع \frac{13}{2} مع -\frac{39}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{16}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{3}{4}\times 2=\frac{13}{2}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 2.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$$

أضف \frac{3}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=2$$