حل {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

اجمع 8x مع -3x لتحصل على 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

اجمع -4y مع 6y لتحصل على 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

اطرح 9 من 12 لتحصل على 3.

$$5x+2y+3=48$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$5x+2y=48-3$$

اطرح 3 من 48 لتحصل على 45.

$$5x+2y=45$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

اجمع 9x مع 16x لتحصل على 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

اجمع -12y مع -8y لتحصل على -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

اطرح 36 من 9 لتحصل على -27.

$$25x-20y-27=48$$

إضافة 27 لكلا الجانبين.

$$25x-20y=48+27$$

اجمع 48 مع 27 لتحصل على 75.

$$25x-20y=75$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=45$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y+45$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{5}+9 في المعادلة الأخرى، 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

اضرب 25 في -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

اجمع -10y مع -20y.

$$-30y+225=75$$

اطرح 225 من طرفي المعادلة.

$$-30y=-150$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{2}{5}y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

اضرب -\frac{2}{5} في 5.

$$x=-2+9$$

اجمع 9 مع -2.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

اجمع 8x مع -3x لتحصل على 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

اجمع -4y مع 6y لتحصل على 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

اطرح 9 من 12 لتحصل على 3.

$$5x+2y+3=48$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$5x+2y=48-3$$

اطرح 3 من 48 لتحصل على 45.

$$5x+2y=45$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

اجمع 9x مع 16x لتحصل على 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

اجمع -12y مع -8y لتحصل على -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

اطرح 36 من 9 لتحصل على -27.

$$25x-20y-27=48$$

إضافة 27 لكلا الجانبين.

$$25x-20y=48+27$$

اجمع 48 مع 27 لتحصل على 75.

$$25x-20y=75$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

اجمع 8x مع -3x لتحصل على 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

اجمع -4y مع 6y لتحصل على 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

اطرح 9 من 12 لتحصل على 3.

$$5x+2y+3=48$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$5x+2y=48-3$$

اطرح 3 من 48 لتحصل على 45.

$$5x+2y=45$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

اجمع 9x مع 16x لتحصل على 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

اجمع -12y مع -8y لتحصل على -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

اطرح 36 من 9 لتحصل على -27.

$$25x-20y-27=48$$

إضافة 27 لكلا الجانبين.

$$25x-20y=48+27$$

اجمع 48 مع 27 لتحصل على 75.

$$25x-20y=75$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

لجعل 5x و25x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 25 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

تبسيط.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

اطرح 125x-100y=375 من 125x+50y=1125 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

اجمع 125x مع -125x. حذف الحدين 125x و-125x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$50y+100y=1125-375$$

اجمع 50y مع 100y.

$$150y=1125-375$$

اجمع 1125 مع -375.

$$150y=750$$

قسمة طرفي المعادلة على 150.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 25x-20y=75. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$25x-20\times 5=75$$

اضرب -20 في 5.

$$25x-100=75$$

أضف 100 إلى طرفي المعادلة.

$$25x=175$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=5$$