حل {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ \frac{2}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x+3-3y=-2$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$2x-3y=-2-3$$

اطرح 3 من -2 لتحصل على -5.

$$2x-3y=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2y في x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

اجمع 2xy مع -2yx لتحصل على 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

اجمع -5x مع -2x لتحصل على -7x.

$$-7x-6y=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=-5$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y-5}{2} في المعادلة الأخرى، -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

اضرب -7 في \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

اجمع -\frac{21y}{2} مع -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

اطرح \frac{35}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{33}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

اجمع -\frac{5}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ \frac{2}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x+3-3y=-2$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$2x-3y=-2-3$$

اطرح 3 من -2 لتحصل على -5.

$$2x-3y=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2y في x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

اجمع 2xy مع -2yx لتحصل على 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

اجمع -5x مع -2x لتحصل على -7x.

$$-7x-6y=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ \frac{2}{3} لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x+3-3y=-2$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$2x-3y=-2-3$$

اطرح 3 من -2 لتحصل على -5.

$$2x-3y=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2y في x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

اجمع 2xy مع -2yx لتحصل على 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

اجمع -5x مع -2x لتحصل على -7x.

$$-7x-6y=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

لجعل 2x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

تبسيط.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

اطرح -14x-12y=2 من -14x+21y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

اجمع -14x مع 14x. حذف الحدين -14x و14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y+12y=35-2$$

اجمع 21y مع 12y.

$$33y=35-2$$

اجمع 35 مع -2.

$$33y=33$$

قسمة طرفي المعادلة على 33.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في -7x-6y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x-6=1$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$-7x=7$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=1$$