حل {c}{x+y=0}{4y+x=1}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 0 } \\ { 4 y + x = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=0,x+4y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=0$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y$$

عوّض عن x بالقيمة -y في المعادلة الأخرى، x+4y=1.

$$-y+4y=1$$

اجمع -y مع 4y.

$$3y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x=-y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=0,x+4y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-1}&-\frac{1}{4-1}\\-\frac{1}{4-1}&\frac{1}{4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=0,x+4y=1$$

اطرح x+4y=1 من x+y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y-4y=-1$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-4y=-1$$

اجمع y مع -4y.

$$-3y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x+4y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+4\times \frac{1}{3}=1$$

اضرب 4 في \frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=1$$

اطرح \frac{4}{3} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$