حل {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=8$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

اضرب 16 في -\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

اجمع -8y مع -y.

$$-9y+32=14$$

اطرح 32 من طرفي المعادلة.

$$-9y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$x=-1+2$$

اجمع 2 مع -1.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

لجعل 4x و16x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 16 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

تبسيط.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

اطرح 64x-4y=56 من 64x+32y=128 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

اجمع 64x مع -64x. حذف الحدين 64x و-64x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32y+4y=128-56$$

اجمع 32y مع 4y.

$$36y=128-56$$

اجمع 128 مع -56.

$$36y=72$$

قسمة طرفي المعادلة على 36.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 16x-y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$16x-2=14$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$16x=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$