حل {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=1$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

اضرب 5 في -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

اجمع -10y مع -y.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=\frac{1}{22}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{22} في x=-2y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

اضرب -2 في \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع -\frac{1}{11} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{9}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

تبسيط.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

اطرح 10x-2y=4 من 10x+20y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y+2y=5-4$$

اجمع 20y مع 2y.

$$22y=5-4$$

اجمع 5 مع -4.

$$22y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 22.

$$y=\frac{1}{22}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{22} في 5x-y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

أضف \frac{1}{22} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{45}{22}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{9}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$