حل {c}{2x+3y=13}{x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=13$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+13}{2} في المعادلة الأخرى، x+2y=9.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}+2y=9$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 2y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}=9$$

اطرح \frac{13}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع -\frac{15}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 13-3\times 9\\-13+2\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+3y=13,2x+2\times 2y=2\times 9$$

تبسيط.

$$2x+3y=13,2x+4y=18$$

اطرح 2x+4y=18 من 2x+3y=13 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+3y-4y=13-18$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-4y=13-18$$

اجمع 3y مع -4y.

$$-y=13-18$$

اجمع 13 مع -18.

$$-y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+2y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times 5=9$$

اضرب 2 في 5.

$$x+10=9$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$