حل {c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+2y=4$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$2x=-2y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -2y+4.

$$x=-y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -y+2 في المعادلة الأخرى، -2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

اضرب -2 في -y+2.

$$2y-4+3y=-9$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y-4=-9$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

اضرب -1 في -1.

$$x=1+2$$

اجمع 2 مع 1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

لجعل 2x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

اطرح -4x+6y=-18 من -4x-4y=-8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-6y=-8+18$$

اجمع -4y مع -6y.

$$-10y=-8+18$$

اجمع -8 مع 18.

$$-10y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -2x+3y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

اضرب 3 في -1.

$$-2x-3=-9$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$