حل {c}{-7u-10v=116}{-7u+10v=-4}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 u - 10 v = 116 } \\ { - 7 u + 10 v = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل u، v

$$u=-8$$

$$v=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة u بعزل u على يسار علامة التساوي.

$$-7u-10v=116$$

أضف 10v إلى طرفي المعادلة.

$$-7u=10v+116$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$u=-\frac{1}{7}\left(10v+116\right)$$

اضرب -\frac{1}{7} في 10v+116.

$$u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}$$

عوّض عن u بالقيمة \frac{-10v-116}{7} في المعادلة الأخرى، -7u+10v=-4.

$$-7\left(-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}\right)+10v=-4$$

اضرب -7 في \frac{-10v-116}{7}.

$$10v+116+10v=-4$$

اجمع 10v مع 10v.

$$20v+116=-4$$

اطرح 116 من طرفي المعادلة.

$$20v=-120$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$v=-6$$

عوّض عن v بالقيمة -6 في u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$u=-\frac{10}{7}\left(-6\right)-\frac{116}{7}$$

اضرب -\frac{10}{7} في -6.

$$u=\frac{60-116}{7}$$

اجمع -\frac{116}{7} مع \frac{60}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$u=-8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=-8,v=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{-10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 116-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{20}\times 116+\frac{1}{20}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة u وv.

$$u=-8,v=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

اطرح -7u+10v=-4 من -7u-10v=116 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-7u+7u-10v-10v=116+4$$

اجمع -7u مع 7u. حذف الحدين -7u و7u، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10v-10v=116+4$$

اجمع -10v مع -10v.

$$-20v=116+4$$

اجمع 116 مع 4.

$$-20v=120$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$v=-6$$

عوّض عن v بالقيمة -6 في -7u+10v=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$-7u+10\left(-6\right)=-4$$

اضرب 10 في -6.

$$-7u-60=-4$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$-7u=56$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$u=-8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=-8,v=-6$$