حل {r}{x+4y=-6}{4x+5y=9}

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + 4 y = - 6 } \\ { 4 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=-6$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y-6$$

عوّض عن x بالقيمة -4y-6 في المعادلة الأخرى، 4x+5y=9.

$$4\left(-4y-6\right)+5y=9$$

اضرب 4 في -4y-6.

$$-16y-24+5y=9$$

اجمع -16y مع 5y.

$$-11y-24=9$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$-11y=33$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-4y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\left(-3\right)-6$$

اضرب -4 في -3.

$$x=12-6$$

اجمع -6 مع 12.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\left(-6\right)+\frac{4}{11}\times 9\\\frac{4}{11}\left(-6\right)-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 4y=4\left(-6\right),4x+5y=9$$

تبسيط.

$$4x+16y=-24,4x+5y=9$$

اطرح 4x+5y=9 من 4x+16y=-24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+16y-5y=-24-9$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16y-5y=-24-9$$

اجمع 16y مع -5y.

$$11y=-24-9$$

اجمع -24 مع -9.

$$11y=-33$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 4x+5y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5\left(-3\right)=9$$

اضرب 5 في -3.

$$4x-15=9$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-3$$