حل {r}{2x+5y=9}{x-y=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 9 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7} \approx 4.857142857$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=9$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+9.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+9}{2} في المعادلة الأخرى، x-y=5.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}-y=5$$

اجمع -\frac{5y}{2} مع -y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{9}{2}=5$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=\frac{1}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{1}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{7} في x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في -\frac{1}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{14}+\frac{9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع \frac{5}{14} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{34}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+5y=9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

تبسيط.

$$2x+5y=9,2x-2y=10$$

اطرح 2x-2y=10 من 2x+5y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+5y+2y=9-10$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+2y=9-10$$

اجمع 5y مع 2y.

$$7y=9-10$$

اجمع 9 مع -10.

$$7y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-\frac{1}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{7} في x-y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-\frac{1}{7}\right)=5$$

اطرح \frac{1}{7} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{34}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$