حل {l}{y=2-2x}{3x-2y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 - 2 x } \\ { 3 x - 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7} \approx 2.428571429$$

$$y = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+2x=2$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$y=-2x+2$$

عوّض عن y بالقيمة -2x+2 في المعادلة الأخرى، -2y+3x=13.

$$-2\left(-2x+2\right)+3x=13$$

اضرب -2 في -2x+2.

$$4x-4+3x=13$$

اجمع 4x مع 3x.

$$7x-4=13$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=17$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{17}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{17}{7} في y=-2x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2\times \frac{17}{7}+2$$

اضرب -2 في \frac{17}{7}.

$$y=-\frac{34}{7}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{34}{7}.

$$y=-\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 2-\frac{2}{7}\times 13\\\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\\frac{17}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+2x=2,-2y+3x=13$$

لجعل y و-2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2y-2\times 2x=-2\times 2,-2y+3x=13$$

تبسيط.

$$-2y-4x=-4,-2y+3x=13$$

اطرح -2y+3x=13 من -2y-4x=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2y+2y-4x-3x=-4-13$$

اجمع -2y مع 2y. حذف الحدين -2y و2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x-3x=-4-13$$

اجمع -4x مع -3x.

$$-7x=-4-13$$

اجمع -4 مع -13.

$$-7x=-17$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=\frac{17}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{17}{7} في -2y+3x=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2y+3\times \frac{17}{7}=13$$

اضرب 3 في \frac{17}{7}.

$$-2y+\frac{51}{7}=13$$

اطرح \frac{51}{7} من طرفي المعادلة.

$$-2y=\frac{40}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{20}{7},x=\frac{17}{7}$$