حل {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-7y=6$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$x=7y+6$$

عوّض عن x بالقيمة 7y+6 في المعادلة الأخرى، 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

اضرب 5 في 7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

اجمع 35y مع 3y.

$$38y+30=2$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$38y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14}{19} في x=7y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

اضرب 7 في -\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

تبسيط.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

اطرح 5x+3y=2 من 5x-35y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-35y-3y=30-2$$

اجمع -35y مع -3y.

$$-38y=30-2$$

اجمع 30 مع -2.

$$-38y=28$$

قسمة طرفي المعادلة على -38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14}{19} في 5x+3y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

اضرب 3 في -\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

أضف \frac{42}{19} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{80}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{16}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$