حل {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=15$$

$$y=21$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 0 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 7y، أقل مضاعف مشترك لـ 7,y.

$$5y=7x$$

اطرح 7x من الطرفين.

$$5y-7x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=36$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+36$$

عوّض عن x بالقيمة -y+36 في المعادلة الأخرى، -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

اضرب -7 في -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

اجمع 7y مع 5y.

$$12y-252=0$$

أضف 252 إلى طرفي المعادلة.

$$12y=252$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=21$$

عوّض عن y بالقيمة 21 في x=-y+36. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-21+36$$

اجمع 36 مع -21.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=21$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 0 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 7y، أقل مضاعف مشترك لـ 7,y.

$$5y=7x$$

اطرح 7x من الطرفين.

$$5y-7x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=15,y=21$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 0 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 7y، أقل مضاعف مشترك لـ 7,y.

$$5y=7x$$

اطرح 7x من الطرفين.

$$5y-7x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

لجعل x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

تبسيط.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

اطرح -7x+5y=0 من -7x-7y=-252 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

اجمع -7x مع 7x. حذف الحدين -7x و7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-7y-5y=-252$$

اجمع -7y مع -5y.

$$-12y=-252$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=21$$

عوّض عن y بالقيمة 21 في -7x+5y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x+5\times 21=0$$

اضرب 5 في 21.

$$-7x+105=0$$

اطرح 105 من طرفي المعادلة.

$$-7x=-105$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=21$$