حل {l}{x+y=220}{x+180-1.5y=320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { x + 180 - 1.5 y = 320 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=188$$

$$y=32$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=220$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+220$$

عوّض عن x بالقيمة -y+220 في المعادلة الأخرى، x-1.5y+180=320.

$$-y+220-1.5y+180=320$$

اجمع -y مع -\frac{3y}{2}.

$$-2.5y+220+180=320$$

اجمع 220 مع 180.

$$-2.5y+400=320$$

اطرح 400 من طرفي المعادلة.

$$-2.5y=-80$$

اقسم طرفي المعادلة على -2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=32$$

عوّض عن y بالقيمة 32 في x=-y+220. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-32+220$$

اجمع 220 مع -32.

$$x=188$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=188,y=32$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.5}{-1.5-1}&-\frac{1}{-1.5-1}\\-\frac{1}{-1.5-1}&\frac{1}{-1.5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6&0.4\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6\times 220+0.4\times 140\\0.4\times 220-0.4\times 140\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}188\\32\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=188,y=32$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

اطرح x-1.5y+180=320 من x+y=220 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+1.5y-180=220-320$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+1.5y-180=220-320$$

اجمع y مع \frac{3y}{2}.

$$2.5y-180=220-320$$

اجمع 220 مع -320.

$$2.5y-180=-100$$

أضف 180 إلى طرفي المعادلة.

$$2.5y=80$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=32$$

عوّض عن y بالقيمة 32 في x-1.5y+180=320. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-1.5\times 32+180=320$$

اضرب -1.5 في 32.

$$x-48+180=320$$

اجمع -48 مع 180.

$$x+132=320$$

اطرح 132 من طرفي المعادلة.

$$x=188$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=188,y=32$$