حل {l}{x+y=2}{2x-3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=2,2x-3y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -y+2 في المعادلة الأخرى، 2x-3y=9.

$$2\left(-y+2\right)-3y=9$$

اضرب 2 في -y+2.

$$-2y+4-3y=9$$

اجمع -2y مع -3y.

$$-5y+4=9$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$-5y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

اضرب -1 في -1.

$$x=1+2$$

اجمع 2 مع 1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=2,2x-3y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=2,2x-3y=9$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 2,2x-3y=9$$

تبسيط.

$$2x+2y=4,2x-3y=9$$

اطرح 2x-3y=9 من 2x+2y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y+3y=4-9$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+3y=4-9$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y=4-9$$

اجمع 4 مع -9.

$$5y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x-3y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\left(-1\right)=9$$

اضرب -3 في -1.

$$2x+3=9$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$2x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$