حل {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+my=a$$

اطرح my من طرفي المعادلة.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

عوّض عن x بالقيمة a-my في المعادلة الأخرى، x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

اجمع -my مع -ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

اطرح a من طرفي المعادلة.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

قسمة طرفي المعادلة على -m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{b-a}{m+n} في x=\left(-m\right)y+a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

اضرب -m في -\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

اجمع a مع \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

اطرح x+\left(-n\right)y=b من x+my=a عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+my+ny=a-b$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$my+ny=a-b$$

اجمع my مع ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

قسمة طرفي المعادلة على m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{a-b}{m+n} في x+\left(-n\right)y=b. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

اضرب -n في \frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

أضف \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$