حل {l}{x+2y=20}{-2x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 20 } \\ { - 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = \frac{41}{5} = 8\frac{1}{5} = 8.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=20,-2x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=20$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+20$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+20 في المعادلة الأخرى، -2x+y=1.

$$-2\left(-2y+20\right)+y=1$$

اضرب -2 في -2y+20.

$$4y-40+y=1$$

اجمع 4y مع y.

$$5y-40=1$$

أضف 40 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=41$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{41}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{5} في x=-2y+20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{41}{5}+20$$

اضرب -2 في \frac{41}{5}.

$$x=-\frac{82}{5}+20$$

اجمع 20 مع -\frac{82}{5}.

$$x=\frac{18}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{18}{5},y=\frac{41}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=20,-2x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 20-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}\times 20+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\\frac{41}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{18}{5},y=\frac{41}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=20,-2x+y=1$$

لجعل x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 20,-2x+y=1$$

تبسيط.

$$-2x-4y=-40,-2x+y=1$$

اطرح -2x+y=1 من -2x-4y=-40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-4y-y=-40-1$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-y=-40-1$$

اجمع -4y مع -y.

$$-5y=-40-1$$

اجمع -40 مع -1.

$$-5y=-41$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{41}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{5} في -2x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+\frac{41}{5}=1$$

اطرح \frac{41}{5} من طرفي المعادلة.

$$-2x=-\frac{36}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=\frac{18}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{18}{5},y=\frac{41}{5}$$