حل {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

أضف ry إلى طرفي المعادلة.

$$rx=ry+1$$

قسمة طرفي المعادلة على r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

اضرب \frac{1}{r} في ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

عوّض عن x بالقيمة y+\frac{1}{r} في المعادلة الأخرى، rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

اضرب r في y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

اجمع ry مع -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

قسمة طرفي المعادلة على r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{r-1}{r-9} في x=y+\frac{1}{r}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

اجمع \frac{1}{r} مع \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

اطرح rx-9y=r من rx+\left(-r\right)y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

اجمع rx مع -rx. حذف الحدين rx و-rx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

اجمع -ry مع 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

قسمة طرفي المعادلة على -r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1-r}{-r+9} في rx-9y=r. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

اضرب -9 في \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

أضف \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} إلى طرفي المعادلة.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

قسمة طرفي المعادلة على r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$