حل {l}{m+n=6}{2m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + n = 6 } \\ { 2 m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$m+n=6$$

اطرح n من طرفي المعادلة.

$$m=-n+6$$

عوّض عن m بالقيمة -n+6 في المعادلة الأخرى، 2m-2n=6.

$$2\left(-n+6\right)-2n=6$$

اضرب 2 في -n+6.

$$-2n+12-2n=6$$

اجمع -2n مع -2n.

$$-4n+12=6$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-4n=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$n=\frac{3}{2}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{3}{2} في m=-n+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{3}{2}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{3}{2}.

$$m=\frac{9}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

لجعل m و2m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2m+2n=2\times 6,2m-2n=6$$

تبسيط.

$$2m+2n=12,2m-2n=6$$

اطرح 2m-2n=6 من 2m+2n=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2m-2m+2n+2n=12-6$$

اجمع 2m مع -2m. حذف الحدين 2m و-2m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2n+2n=12-6$$

اجمع 2n مع 2n.

$$4n=12-6$$

اجمع 12 مع -6.

$$4n=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{3}{2} في 2m-2n=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$2m-2\times \frac{3}{2}=6$$

اضرب -2 في \frac{3}{2}.

$$2m-3=6$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$2m=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{9}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$