حل {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

أضف by إلى طرفي المعادلة.

$$ax=by-8$$

قسمة طرفي المعادلة على a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

اضرب \frac{1}{a} في by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{by-8}{a} في المعادلة الأخرى، bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

اضرب b في \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

اجمع \frac{b^{2}y}{a} مع ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

اجمع -\frac{8b}{a} مع 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

اطرح \frac{a-8b}{a} من طرفي المعادلة.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

قسمة طرفي المعادلة على a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} في x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

اضرب \frac{b}{a} في \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

اجمع -\frac{8}{a} مع \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

لجعل ax وbx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في b وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

تبسيط.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

اطرح abx+a^{2}y+a=0 من abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

اجمع bax مع -bax. حذف الحدين bax و-bax، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

اجمع -b^{2}y مع -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

اطرح 8b-a من طرفي المعادلة.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

قسمة طرفي المعادلة على -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} في bx+ay+1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

اضرب a في -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

اجمع -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} مع 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

اطرح \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} من طرفي المعادلة.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

قسمة طرفي المعادلة على b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

أضف by إلى طرفي المعادلة.

$$ax=by-8$$

قسمة طرفي المعادلة على a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

اضرب \frac{1}{a} في by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{by-8}{a} في المعادلة الأخرى، bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

اضرب b في \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

اجمع \frac{b^{2}y}{a} مع ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

اجمع -\frac{8b}{a} مع 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

اطرح \frac{a-8b}{a} من طرفي المعادلة.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

قسمة طرفي المعادلة على a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} في x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

اضرب \frac{b}{a} في \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

اجمع -\frac{8}{a} مع \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

لجعل ax وbx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في b وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

تبسيط.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

اطرح abx+a^{2}y+a=0 من abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

اجمع bax مع -bax. حذف الحدين bax و-bax، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

اجمع -b^{2}y مع -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

اطرح 8b-a من طرفي المعادلة.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

قسمة طرفي المعادلة على -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} في bx+ay+1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

اضرب a في -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

اجمع -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} مع 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

اطرح \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} من طرفي المعادلة.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

قسمة طرفي المعادلة على b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$