حل {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

حل مسائل k، a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة k بعزل k على يسار علامة التساوي.

$$8k+a=3650$$

اطرح a من طرفي المعادلة.

$$8k=-a+3650$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

عوّض عن k بالقيمة -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} في المعادلة الأخرى، 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

اضرب 15 في -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

اجمع -\frac{15a}{8} مع a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

اطرح \frac{27375}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$a=7650$$

عوّض عن a بالقيمة 7650 في k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة k مباشرةً.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

اضرب -\frac{1}{8} في 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

اجمع \frac{1825}{4} مع -\frac{3825}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$k=-500$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=-500,a=7650$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة k وa.

$$k=-500,a=7650$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

اطرح 15k+a=150 من 8k+a=3650 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

اجمع a مع -a. حذف الحدين a و-a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8k-15k=3650-150$$

اجمع 8k مع -15k.

$$-7k=3650-150$$

اجمع 3650 مع -150.

$$-7k=3500$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$k=-500$$

عوّض عن k بالقيمة -500 في 15k+a=150. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

اضرب 15 في -500.

$$-7500+a=150$$

أضف 7500 إلى طرفي المعادلة.

$$a=7650$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=-500,a=7650$$