حل {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$78x+40y=1280$$

اطرح 40y من طرفي المعادلة.

$$78x=-40y+1280$$

قسمة طرفي المعادلة على 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

اضرب \frac{1}{78} في -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-20y+640}{39} في المعادلة الأخرى، 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

اضرب 120 في \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

اجمع -\frac{800y}{13} مع 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

اطرح \frac{25600}{13} من طرفي المعادلة.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{240}{13}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=45$$

عوّض عن y بالقيمة 45 في x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

اضرب -\frac{20}{39} في 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

اجمع \frac{640}{39} مع -\frac{300}{13} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{20}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

لجعل 78x و120x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 120 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

تبسيط.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

اطرح 9360x+6240y=218400 من 9360x+4800y=153600 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

اجمع 9360x مع -9360x. حذف الحدين 9360x و-9360x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

اجمع 4800y مع -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

اجمع 153600 مع -218400.

$$-1440y=-64800$$

قسمة طرفي المعادلة على -1440.

$$y=45$$

عوّض عن y بالقيمة 45 في 120x+80y=2800. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$120x+80\times 45=2800$$

اضرب 80 في 45.

$$120x+3600=2800$$

اطرح 3600 من طرفي المعادلة.

$$120x=-800$$

قسمة طرفي المعادلة على 120.

$$x=-\frac{20}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$