حل {l}{5y+2x=5}{y+2x=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$5y+2x=5$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$5y=-2x+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2x+5.

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2x}{5}+1 في المعادلة الأخرى، y+2x=5.

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

اجمع -\frac{2x}{5} مع 2x.

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{5}x=4$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5}{2} في y=-\frac{2}{5}x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

اضرب -\frac{2}{5} في \frac{5}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-1+1$$

اجمع 1 مع -1.

$$y=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

اطرح y+2x=5 من 5y+2x=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-y=5-5$$

اجمع 5y مع -y.

$$4y=5-5$$

اجمع 5 مع -5.

$$4y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في y+2x=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$