حل {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=25$$

$$y=15$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-y=110$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=y+110$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في y+110.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{5}+22 في المعادلة الأخرى، -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

اضرب -1 في \frac{y}{5}+22.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

اجمع -\frac{y}{5} مع 9y.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

أضف 22 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{44}{5}y=132$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{44}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في x=\frac{1}{5}y+22. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

اضرب \frac{1}{5} في 15.

$$x=3+22$$

اجمع 22 مع 3.

$$x=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=25,y=15$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=25,y=15$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

لجعل 5x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

تبسيط.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

اطرح -5x+45y=550 من -5x+y=-110 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

اجمع -5x مع 5x. حذف الحدين -5x و5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-45y=-110-550$$

اجمع y مع -45y.

$$-44y=-110-550$$

اجمع -110 مع -550.

$$-44y=-660$$

قسمة طرفي المعادلة على -44.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في -x+9y=110. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+9\times 15=110$$

اضرب 9 في 15.

$$-x+135=110$$

اطرح 135 من طرفي المعادلة.

$$-x=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=25,y=15$$