حل {l}{5x+3y=-2}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=-2$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y-2.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-2}{5} في المعادلة الأخرى، 2x-2y=-4.

$$2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4$$

اضرب 2 في \frac{-3y-2}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4$$

اجمع -\frac{6y}{5} مع -2y.

$$-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4$$

أضف \frac{4}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-3-2}{5}$$

اجمع -\frac{2}{5} مع -\frac{3}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$10x+6y=-4,10x-10y=-20$$

اطرح 10x-10y=-20 من 10x+6y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+6y+10y=-4+20$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+10y=-4+20$$

اجمع 6y مع 10y.

$$16y=-4+20$$

اجمع -4 مع 20.

$$16y=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 2x-2y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2=-4$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=1$$