حل {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

حل مسائل k، b

$$k=2$$

$$b=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$3k+b=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$-4k+b=-9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة k بعزل k على يسار علامة التساوي.

$$3k+b=5$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$3k=-b+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

عوّض عن k بالقيمة \frac{-b+5}{3} في المعادلة الأخرى، -4k+b=-9.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

اضرب -4 في \frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

اجمع \frac{4b}{3} مع b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

أضف \frac{20}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-1$$

عوّض عن b بالقيمة -1 في k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة k مباشرةً.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في -1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع \frac{1}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$k=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=2,b=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$3k+b=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$-4k+b=-9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة k وb.

$$k=2,b=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$3k+b=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$-4k+b=-9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

اطرح -4k+b=-9 من 3k+b=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

اجمع b مع -b. حذف الحدين b و-b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3k+4k=5+9$$

اجمع 3k مع 4k.

$$7k=5+9$$

اجمع 5 مع 9.

$$7k=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$k=2$$

عوّض عن k بالقيمة 2 في -4k+b=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$-4\times 2+b=-9$$

اضرب -4 في 2.

$$-8+b=-9$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$b=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=2,b=-1$$