حل {l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=20$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$48x+40y=1280$$

اطرح 40y من طرفي المعادلة.

$$48x=-40y+1280$$

قسمة طرفي المعادلة على 48.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

اضرب \frac{1}{48} في -40y+1280.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} في المعادلة الأخرى، 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

اضرب 120 في -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}.

$$-100y+3200+80y=2800$$

اجمع -100y مع 80y.

$$-20y+3200=2800$$

اطرح 3200 من طرفي المعادلة.

$$-20y=-400$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

اضرب -\frac{5}{6} في 20.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

اجمع \frac{80}{3} مع -\frac{50}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=20$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=20$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

لجعل 48x و120x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 120 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 48.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

تبسيط.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

اطرح 5760x+3840y=134400 من 5760x+4800y=153600 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

اجمع 5760x مع -5760x. حذف الحدين 5760x و-5760x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

اجمع 4800y مع -3840y.

$$960y=153600-134400$$

اجمع 153600 مع -134400.

$$960y=19200$$

قسمة طرفي المعادلة على 960.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في 120x+80y=2800. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$120x+80\times 20=2800$$

اضرب 80 في 20.

$$120x+1600=2800$$

اطرح 1600 من طرفي المعادلة.

$$120x=1200$$

قسمة طرفي المعادلة على 120.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=20$$