حل {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

حل مسائل k، b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$112k+b=44$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$82k+b=16$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة k بعزل k على يسار علامة التساوي.

$$112k+b=44$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$112k=-b+44$$

قسمة طرفي المعادلة على 112.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

اضرب \frac{1}{112} في -b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

عوّض عن k بالقيمة -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} في المعادلة الأخرى، 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

اضرب 82 في -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

اجمع -\frac{41b}{56} مع b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

اطرح \frac{451}{14} من طرفي المعادلة.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{15}{56}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-\frac{908}{15}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{908}{15} في k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة k مباشرةً.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

اضرب -\frac{1}{112} في -\frac{908}{15} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

اجمع \frac{11}{28} مع \frac{227}{420} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$k=\frac{14}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$112k+b=44$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$82k+b=16$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة k وb.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$112k+b=44$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$82k+b=16$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

اطرح 82k+b=16 من 112k+b=44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

اجمع b مع -b. حذف الحدين b و-b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$112k-82k=44-16$$

اجمع 112k مع -82k.

$$30k=44-16$$

اجمع 44 مع -16.

$$30k=28$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$k=\frac{14}{15}$$

عوّض عن k بالقيمة \frac{14}{15} في 82k+b=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

اضرب 82 في \frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

اطرح \frac{1148}{15} من طرفي المعادلة.

$$b=-\frac{908}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$