حل {l}{4x+y=2}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 2 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=2,6x-2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+2.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{4}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 6x-2y=3.

$$6\left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)-2y=3$$

اضرب 6 في -\frac{y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+3-2y=3$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع -2y.

$$-\frac{7}{2}y+3=3$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=2,6x-2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-6}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-6}\\-\frac{6}{4\left(-2\right)-6}&\frac{4}{4\left(-2\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 2+\frac{1}{14}\times 3\\\frac{3}{7}\times 2-\frac{2}{7}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{2},y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=2,6x-2y=3$$

لجعل 4x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$6\times 4x+6y=6\times 2,4\times 6x+4\left(-2\right)y=4\times 3$$

تبسيط.

$$24x+6y=12,24x-8y=12$$

اطرح 24x-8y=12 من 24x+6y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$24x-24x+6y+8y=12-12$$

اجمع 24x مع -24x. حذف الحدين 24x و-24x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+8y=12-12$$

اجمع 6y مع 8y.

$$14y=12-12$$

اجمع 12 مع -12.

$$14y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 6x-2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=0$$