حل {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=25,2$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+25,2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+25,2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} في المعادلة الأخرى، x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

اطرح \frac{63}{10} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{257}{45}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{257}{45} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{257}{45} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

اجمع \frac{63}{10} مع -\frac{257}{90} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{31}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

تبسيط.

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

اطرح 4x+20y=128 من 4x+2y=25,2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-20y=25,2-128$$

اجمع 2y مع -20y.

$$-18y=25,2-128$$

اجمع 25,2 مع -128.

$$-18y=-102,8$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{257}{45} في x+5y=32. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

اضرب 5 في \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

اطرح \frac{257}{9} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{31}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$