حل {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

اجمع 4x مع -3x لتحصل على x.

$$x+4y+3y=10$$

اجمع 4y مع 3y لتحصل على 7y.

$$x+7y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

اجمع 2x مع -3x لتحصل على -x.

$$-x+2y+3y=2$$

اجمع 2y مع 3y لتحصل على 5y.

$$-x+5y=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+7y=10$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$x=-7y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -7y+10 في المعادلة الأخرى، -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

اضرب -1 في -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

اجمع 7y مع 5y.

$$12y-10=2$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$12y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-7y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-7+10$$

اجمع 10 مع -7.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

اجمع 4x مع -3x لتحصل على x.

$$x+4y+3y=10$$

اجمع 4y مع 3y لتحصل على 7y.

$$x+7y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

اجمع 2x مع -3x لتحصل على -x.

$$-x+2y+3y=2$$

اجمع 2y مع 3y لتحصل على 5y.

$$-x+5y=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

اجمع 4x مع -3x لتحصل على x.

$$x+4y+3y=10$$

اجمع 4y مع 3y لتحصل على 7y.

$$x+7y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

اجمع 2x مع -3x لتحصل على -x.

$$-x+2y+3y=2$$

اجمع 2y مع 3y لتحصل على 5y.

$$-x+5y=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

لجعل x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

اطرح -x+5y=2 من -x-7y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

اجمع -x مع x. حذف الحدين -x وx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-7y-5y=-10-2$$

اجمع -7y مع -5y.

$$-12y=-10-2$$

اجمع -10 مع -2.

$$-12y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في -x+5y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+5=2$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$