حل {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 4 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3x-5y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$15y-4x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-5y=4$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=5y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+4}{3} في المعادلة الأخرى، -4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

اضرب -4 في \frac{5y+4}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

اجمع -\frac{20y}{3} مع 15y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

أضف \frac{16}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع \frac{5}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 4 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3x-5y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$15y-4x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 4 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3x-5y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$15y-4x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

لجعل 3x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

تبسيط.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

اطرح -12x+45y=9 من -12x+20y=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-45y=-16-9$$

اجمع 20y مع -45y.

$$-25y=-16-9$$

اجمع -16 مع -9.

$$-25y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -25.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في -4x+15y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+15=3$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-4x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$