حل {l}{3x-2y=12}{mx+my=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 12 } \\ { m x + m y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}$$

$$y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

$$m\neq 0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=12,mx+my=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=12$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 12+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}+4 في المعادلة الأخرى، mx+my=9.

$$m\left(\frac{2}{3}y+4\right)+my=9$$

اضرب m في \frac{2y}{3}+4.

$$\frac{2m}{3}y+4m+my=9$$

اجمع \frac{2my}{3} مع my.

$$\frac{5m}{3}y+4m=9$$

اطرح 4m من طرفي المعادلة.

$$\frac{5m}{3}y=9-4m$$

قسمة طرفي المعادلة على \frac{5m}{3}.

$$y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{27}{5m}-\frac{12}{5} في x=\frac{2}{3}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}\right)+4$$

اضرب \frac{2}{3} في \frac{27}{5m}-\frac{12}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}+\frac{18}{5m}+4$$

اجمع 4 مع \frac{18}{5m}-\frac{8}{5}.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m},y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=12,mx+my=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{3m-\left(-2m\right)}&-\frac{-2}{3m-\left(-2m\right)}\\-\frac{m}{3m-\left(-2m\right)}&\frac{3}{3m-\left(-2m\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5m}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 12+\frac{2}{5m}\times 9\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{3}{5m}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}\\-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m},y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=12,mx+my=9$$

لجعل 3x وmx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في m وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$m\times 3x+m\left(-2\right)y=m\times 12,3mx+3my=3\times 9$$

تبسيط.

$$3mx+\left(-2m\right)y=12m,3mx+3my=27$$

اطرح 3mx+3my=27 من 3mx+\left(-2m\right)y=12m عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3mx+\left(-3m\right)x+\left(-2m\right)y+\left(-3m\right)y=12m-27$$

اجمع 3mx مع -3mx. حذف الحدين 3mx و-3mx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-2m\right)y+\left(-3m\right)y=12m-27$$

اجمع -2my مع -3my.

$$\left(-5m\right)y=12m-27$$

قسمة طرفي المعادلة على -5m.

$$y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{27}{5m}-\frac{12}{5} في mx+my=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$mx+m\left(-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}\right)=9$$

اضرب m في \frac{27}{5m}-\frac{12}{5}.

$$mx+\frac{27-12m}{5}=9$$

اطرح \frac{27-12m}{5} من طرفي المعادلة.

$$mx=\frac{12m+18}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على m.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m},y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$