حل {l}{3x+y=6}{2y=2+x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { 2 y = 2 + x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$2y-x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=6,-x+2y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، -x+2y=2.

$$-\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+2y=2$$

اضرب -1 في -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{1}{3}y-2+2y=2$$

اجمع \frac{y}{3} مع 2y.

$$\frac{7}{3}y-2=2$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{3}y=4$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{12}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{12}{7} في x=-\frac{1}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{12}{7}+2$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{12}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{4}{7}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{4}{7}.

$$x=\frac{10}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{12}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$2y-x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=6,-x+2y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 6-\frac{1}{7}\times 2\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{12}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$2y-x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=6,-x+2y=2$$

لجعل 3x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3x-y=-6,3\left(-1\right)x+3\times 2y=3\times 2$$

تبسيط.

$$-3x-y=-6,-3x+6y=6$$

اطرح -3x+6y=6 من -3x-y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x-y-6y=-6-6$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-6y=-6-6$$

اجمع -y مع -6y.

$$-7y=-6-6$$

اجمع -6 مع -6.

$$-7y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{12}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{12}{7} في -x+2y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+2\times \frac{12}{7}=2$$

اضرب 2 في \frac{12}{7}.

$$-x+\frac{24}{7}=2$$

اطرح \frac{24}{7} من طرفي المعادلة.

$$-x=-\frac{10}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=\frac{10}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{12}{7}$$