حل {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4y من الطرفين.

$$3x+2-4y=0$$

اطرح 2 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$3x-4y=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-4y=-2$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=4y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 4y-2.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y-2}{3} في المعادلة الأخرى، x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

اجمع \frac{4y}{3} مع y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

أضف \frac{2}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{32}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{32}{7} في x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

اضرب \frac{4}{3} في \frac{32}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

اجمع -\frac{2}{3} مع \frac{128}{21} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{38}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4y من الطرفين.

$$3x+2-4y=0$$

اطرح 2 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$3x-4y=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4y من الطرفين.

$$3x+2-4y=0$$

اطرح 2 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$3x-4y=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

تبسيط.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

اطرح 3x+3y=30 من 3x-4y=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-3y=-2-30$$

اجمع -4y مع -3y.

$$-7y=-2-30$$

اجمع -2 مع -30.

$$-7y=-32$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{32}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{32}{7} في x+y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

اطرح \frac{32}{7} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{38}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$