حل {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=5$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5+y}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+6y=24.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

اضرب 4 في \frac{5+y}{2}.

$$2y+10+6y=24$$

اجمع 2y مع 6y.

$$8y+10=24$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$8y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=\frac{7}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{4} في x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في \frac{7}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{7}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{27}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

تبسيط.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

اطرح 8x+12y=48 من 8x-4y=20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-12y=20-48$$

اجمع -4y مع -12y.

$$-16y=20-48$$

اجمع 20 مع -48.

$$-16y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=\frac{7}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{4} في 4x+6y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

اضرب 6 في \frac{7}{4}.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

اطرح \frac{21}{2} من طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{27}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{27}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$