حل {l}{2x-3y-6=0}{2x+y+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 6 = 0 } \\ { 2 x + y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$2x-3y=6$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 2x+y+2=0.

$$2\left(\frac{3}{2}y+3\right)+y+2=0$$

اضرب 2 في \frac{3y}{2}+3.

$$3y+6+y+2=0$$

اجمع 3y مع y.

$$4y+6+2=0$$

اجمع 6 مع 2.

$$4y+8=0$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$4y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{3}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+3$$

اضرب \frac{3}{2} في -2.

$$x=-3+3$$

اجمع 3 مع -3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

اطرح 2x+y+2=0 من 2x-3y-6=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-3y-y-6-2=0$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-y-6-2=0$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y-6-2=0$$

اجمع -6 مع -2.

$$-4y-8=0$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 2x+y+2=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2+2=0$$

اجمع -2 مع 2.

$$2x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$