حل {l}{2x+y=5}{-x+5y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { - x + 5 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+5}{2} في المعادلة الأخرى، -x+5y=3.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=3$$

اضرب -1 في \frac{-y+5}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+5y=3$$

اجمع \frac{y}{2} مع 5y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{5}{2}=3$$

أضف \frac{5}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 5-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

لجعل 2x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2x-y=-5,2\left(-1\right)x+2\times 5y=2\times 3$$

تبسيط.

$$-2x-y=-5,-2x+10y=6$$

اطرح -2x+10y=6 من -2x-y=-5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-y-10y=-5-6$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-10y=-5-6$$

اجمع -y مع -10y.

$$-11y=-5-6$$

اجمع -5 مع -6.

$$-11y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في -x+5y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+5=3$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=1$$