حل {l}{2x+y=45}{12(2(x+5))=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 12 ( 2 ( x + 5 ) ) = y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{75}{26} = -2\frac{23}{26} \approx -2.884615385$$

$$y = \frac{660}{13} = 50\frac{10}{13} \approx 50.769230769$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب 12 في 2 لتحصل على 24.

$$24\left(x+5\right)=y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 24 في x+5.

$$24x+120=y$$

اطرح y من الطرفين.

$$24x+120-y=0$$

اطرح 120 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$24x-y=-120$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=45,24x-y=-120$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=45$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+45$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+45.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+45}{2} في المعادلة الأخرى، 24x-y=-120.

$$24\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)-y=-120$$

اضرب 24 في \frac{-y+45}{2}.

$$-12y+540-y=-120$$

اجمع -12y مع -y.

$$-13y+540=-120$$

اطرح 540 من طرفي المعادلة.

$$-13y=-660$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=\frac{660}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{660}{13} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{660}{13}+\frac{45}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{660}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{330}{13}+\frac{45}{2}$$

اجمع \frac{45}{2} مع -\frac{330}{13} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{75}{26}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{75}{26},y=\frac{660}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب 12 في 2 لتحصل على 24.

$$24\left(x+5\right)=y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 24 في x+5.

$$24x+120=y$$

اطرح y من الطرفين.

$$24x+120-y=0$$

اطرح 120 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$24x-y=-120$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=45,24x-y=-120$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-120\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-120\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\24&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-120\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-24}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-24}\\-\frac{24}{2\left(-1\right)-24}&\frac{2}{2\left(-1\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-120\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{12}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}\times 45+\frac{1}{26}\left(-120\right)\\\frac{12}{13}\times 45-\frac{1}{13}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{75}{26}\\\frac{660}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{75}{26},y=\frac{660}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب 12 في 2 لتحصل على 24.

$$24\left(x+5\right)=y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 24 في x+5.

$$24x+120=y$$

اطرح y من الطرفين.

$$24x+120-y=0$$

اطرح 120 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$24x-y=-120$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=45,24x-y=-120$$

لجعل 2x و24x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 24 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$24\times 2x+24y=24\times 45,2\times 24x+2\left(-1\right)y=2\left(-120\right)$$

تبسيط.

$$48x+24y=1080,48x-2y=-240$$

اطرح 48x-2y=-240 من 48x+24y=1080 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$48x-48x+24y+2y=1080+240$$

اجمع 48x مع -48x. حذف الحدين 48x و-48x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y+2y=1080+240$$

اجمع 24y مع 2y.

$$26y=1080+240$$

اجمع 1080 مع 240.

$$26y=1320$$

قسمة طرفي المعادلة على 26.

$$y=\frac{660}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{660}{13} في 24x-y=-120. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$24x-\frac{660}{13}=-120$$

أضف \frac{660}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$24x=-\frac{900}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$x=-\frac{75}{26}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{75}{26},y=\frac{660}{13}$$