حل {l}{2x+y=-3}{-x+y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 3 } \\ { - x + y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=-3,-x+y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=-3$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-3}{2} في المعادلة الأخرى، -x+y=9.

$$-\left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+y=9$$

اضرب -1 في \frac{-y-3}{2}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=9$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=9$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{15}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5-\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في 5.

$$x=\frac{-5-3}{2}$$

اجمع -\frac{3}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=-3,-x+y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\times 9\\\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=-3,-x+y=9$$

اطرح -x+y=9 من 2x+y=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x+x+y-y=-3-9$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x+x=-3-9$$

اجمع 2x مع x.

$$3x=-3-9$$

اجمع -3 مع -9.

$$3x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-4$$

عوّض عن x بالقيمة -4 في -x+y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\left(-4\right)+y=9$$

اضرب -1 في -4.

$$4+y=9$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=5$$