حل {l}{2x+3y=7}{x=-2y+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { x = - 2 y + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$x+2y=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=7,x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+7}{2} في المعادلة الأخرى، x+2y=3.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}+2y=3$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 2y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}=3$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=-\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في -1.

$$x=\frac{3+7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$x+2y=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=7,x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 7-3\times 3\\-7+2\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$x+2y=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=7,x+2y=3$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+3y=7,2x+2\times 2y=2\times 3$$

تبسيط.

$$2x+3y=7,2x+4y=6$$

اطرح 2x+4y=6 من 2x+3y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+3y-4y=7-6$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-4y=7-6$$

اجمع 3y مع -4y.

$$-y=7-6$$

اجمع 7 مع -6.

$$-y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\left(-1\right)=3$$

اضرب 2 في -1.

$$x-2=3$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-1$$