حل {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{213}{140} = 1\frac{73}{140} = 1.5214285714285714$$

$$y=\frac{349}{70}-n$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=18-n$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+18-n$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+18-n.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} في المعادلة الأخرى، 4x-y=5n+1.1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.1$$

اضرب 4 في -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}.

$$-6y+36-2n-y=5n+1.1$$

اجمع -6y مع -y.

$$-7y+36-2n=5n+1.1$$

اطرح 36-2n من طرفي المعادلة.

$$-7y=7n-34.9$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{349}{70}-n$$

عوّض عن y بالقيمة -n+\frac{349}{70} في x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{349}{70}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

اضرب -\frac{3}{2} في -n+\frac{349}{70}.

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}-\frac{n}{2}+9$$

اجمع 9-\frac{n}{2} مع \frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}.

$$x=n+\frac{213}{140}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{213}{140}\\\frac{349}{70}-n\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.1\right)$$

تبسيط.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2.2$$

اطرح 8x-2y=10n+2.2 من 8x+12y=72-4n عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

اجمع 12y مع 2y.

$$14y=72-4n-10n-2.2$$

اجمع 72-4n مع -10n-2.2.

$$14y=69.8-14n$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=\frac{349}{70}-n$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{349}{70}-n في 4x-y=5n+1.1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-\left(\frac{349}{70}-n\right)=5n+1.1$$

اطرح -\frac{349}{70}+n من طرفي المعادلة.

$$4x=4n+\frac{213}{35}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=n+\frac{213}{140}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$