حل {l}{2x+3y=-1}{4x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 1 } \\ { 4 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=-1,4x+y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=-1$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-1\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y-1.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-1}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=3$$

اضرب 4 في \frac{-3y-1}{2}.

$$-6y-2+y=3$$

اجمع -6y مع y.

$$-5y-2=3$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-5y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في -1.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

اجمع -\frac{1}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=-1,4x+y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\left(-1\right)+\frac{3}{10}\times 3\\\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=-1,4x+y=3$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(-1\right),2\times 4x+2y=2\times 3$$

تبسيط.

$$8x+12y=-4,8x+2y=6$$

اطرح 8x+2y=6 من 8x+12y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+12y-2y=-4-6$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-2y=-4-6$$

اجمع 12y مع -2y.

$$10y=-4-6$$

اجمع -4 مع -6.

$$10y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 4x+y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-1=3$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$